高中数学立体几何定理立体几何公式及结论

高中数学立体几何定理立体几何常用公式及结论

线线平行的判断

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

直线和交线平行图

②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

交线平行图

③垂直于同一平面的两条直线平行。

直线平行图

线线垂直的判断

①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

②在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

线线垂直图

③若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

三、线面平行的判断

①如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

②两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

面面平行的判断

①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内两相交直线，这两个平面平行。

②垂直于同一条直线的'两个平面平行。

线面垂直的判断

①如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

④如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

面面垂直的判断

一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）

①异面直线所成的角：

通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。

异面直线所成角的范围：0° < α ≤ 90°；

若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以通过补形，

如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。

②线面所成的角：

斜线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角。

范围0° < α < 90°

③二面角：

二面角图

关键是找出二面角的平面角。

方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；

定义法：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

还可以用射影法：

cosθ = S'/S；其中θ为二面角α - l - β的大小。

夹角公式

空间直角坐标系

夹角公式图

线线夹角公式图

线面夹角公式图

面面夹角公式图

求点到面的距离的方法

①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）；

②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；

③体积法：利用三棱锥体积公式。

④向量法：

向量法中：点到面的距离公式图

空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算图